Question

已知数列{a_n}前n项和S_n=2n²-n
（1）求其通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}是等差数列，且b_n=

Sn

n+c

（c≠0），求数列{a_n•2^b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由数列的前n项和分类求出a₁和a_n（n≥2），验证a₁后可得通项公式；
（2）分别求出数列{b_n}的前3项，由等差中项的概念求出c，代入后利用错位相减法求数列{a_n•2^b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）由S_n=2n²-n
当n=1时，a₁=S₁=1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2-n)-[2(n-1)2-(n-1)]
=4n-3．
n=1时成立．
∴a_n=4n-3；
（2）∵数列{b_n}是等差数列，
由b_n=

Sn

n+c

，取n=1得，b1=

1

1+c

．
取n=2得，b2=

S2

2+c

=

6

2+c

．
取n=3得，b3=

S3

3+c

=

15

3+c

．
∴

1

1+c

+

15

3+c

=

12

2+c

，解得c=-

1

2

．
∴b₁=2，公差d=2．
∴b_n=2+2（n-1）=2n．
则a_n•2^b_n=（4n-3）•4ⁿ
∴Tn=1×41+5×42+…+(4n-7)×4n-1+(4n-3)×4n①
4Tn=1×42+5×43+…+(4n-7)×4n+(4n-3)×4n+1②
①-②得：-3Tn=4+4×42+4×43+…+4×4n-(4n-3)×4n+1．
∴Tn=-

4

9

(4n-1)+

4n-3

3

×4n+1．

点评：本题考查了数列的通项公式，考查了数列的和，训练了错位相减法，是中档题．