Question

2．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，且点（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆E只有一个公共点P．
（1）用实数k，m表示点P的坐标；
（2）若动直线l与直线x=4相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点M，使得MP⊥MQ？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（II）（1）直线方程与椭圆方程联立化为：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由动直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆E只有一个公共点P．可得△=0，化为：m²=3+4k²．即可得出P点坐标．
（2）动直线l与直线x=4相交于点Q（4，4k+m），假设在x轴上存在定点M（t，0），使得MP⊥MQ．
当k=0时，直线l的方程为：y=m=$±\sqrt{3}$，以（2，$±\sqrt{3}$）为圆心，2为半径的圆的方程为：（x-2）²+$（y±\sqrt{3}）^{2}$=4，令y=0，解得x=1，或3，因此若在x轴上存在定点M（t，0），使得MP⊥MQ，则M（1，0）或（3，0）．当t=1或3时，代入$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=-24≠0，即可得出结论．

解答 解：（I）由题意可得：$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，联立解得a=2，c=1，b²=3．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（II）（1）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，（*）
∵动直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆E只有一个公共点P．
∴△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，
化为：m²=3+4k²．
解得x_P=-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{-4k}{m}$，y_P=k×$（-\frac{4k}{m}）$+m=$\frac{3}{m}$．
∴P$（\frac{-4k}{m}，\frac{3}{m}）$．
（2）动直线l与直线x=4相交于点Q（4，4k+m），
假设在x轴上存在定点M（t，0），使得MP⊥MQ．
当k=0时，直线l的方程为：y=m=$±\sqrt{3}$，
以（2，$±\sqrt{3}$）为圆心，2为半径的圆的方程为：（x-2）²+$（y±\sqrt{3}）^{2}$=4，
令y=0，解得x=1，或3，
因此若在x轴上存在定点M（t，0），使得MP⊥MQ，则M（1，0）或（3，0）．
当t=1时，代入$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=（-$\frac{4k}{m}$-t）（4-t）+$\frac{3}{m}×（4k+m）$=0，
当t=3时，代入$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=（-$\frac{4k}{m}$-t）（4-t）+$\frac{3}{m}×（4k+m）$=$\frac{8k}{m}$≠0，
因此在x轴上存在定点M（1，0），使得MP⊥MQ．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的标准方程及其性质、向量垂直与数数量积的关系、分类讨论方法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．