Question

某中学高一年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加学科测试，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．
（Ⅰ）求x和y的值，并计算甲班7位学生成绩的方差S²；
（Ⅱ）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求至少有一名学生是甲班的概率．

Answer 1

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率,茎叶图,极差、方差与标准差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，根据所给的茎叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差．
（Ⅱ）设甲班至少有一名学生为事件A，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵甲班学生的平均分是85，设甲班中需求学生的成绩为m，
∴92+96+80+m+85+79+78=85×7，m=85，
∴x=5．
∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3．
甲班7位学生成绩的方差为S²=

1

7

[（-6）²+（-7）²+（-5）²+0²+0²+7²+11²]=40．
（Ⅱ）3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，
乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）
其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．
记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则P（M）=

7

10

．

点评：本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．