Question

11．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PA=$\sqrt{3}$，PA⊥面ABCD，E、F分别为BC、PA的中点．
（1）求证：BF∥平面PDE；
（2）求二面角D-PE-A的正弦值；
（3）求点C到平面PDE的距离．

Answer 1

分析 （1）取PD中的G，连结GF、GE，得到四边形BFGE是平行四边形，即可得到BF∥平面PDE．
（Ⅱ）作DH⊥AE与E，作HI⊥PE于I，连结DI，可得∠DIH即为二面角D-PE-A的平面角，
在直角△DIH中，求解sin∠DIH即可
（Ⅲ）设点C到平面PDE的距离为h，
由V_P-CDE=V_C-PDE，求得h，即为点C到平面PDE的距离

解答 解：（1）如图所示，取PD中的G，连结GF、GE，
∵E、F分别为BC、PA的中点．∴FG∥BE，FG=BE．
所以四边形BFGE是平行四边形，
∴BF∥平面PDE．
（Ⅱ）作DH⊥AE与E，作HI⊥PE于I，连结DI，可得DH⊥面PAB，
∴DH⊥PE，又因为PE⊥HI，HI∩DH=H，∴PE⊥面DIH，∴PE⊥DI
∴∠DIH即为二面角D-PE-A的平面角，
在直角△DIH中，sin∠DIH=$\frac{DH}{DI}=\frac{2\sqrt{10}}{7}$，
∴二面角D-PE-A的正弦值为$\frac{2\sqrt{10}}{7}$．
（Ⅲ）设点C到平面PDE的距离为h，
∵V_P-CDE=V_C-PDE，∴$\frac{1}{3}{s}_{△CDE}×PA=\frac{1}{3}{s}_{△PDE}×h$，
$\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{7}×h$，解得h=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴点C到平面PDE的距离为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本小题主要考查直线平行与平面的判定，以及几何法求二面角，等体积法求点面距离，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．