Question

3．在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$．
（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）圆C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，展开可得：ρ²=4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ-sinθ），利用互化公式即可得出直角坐标方程．
（2）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入上述方程可得：t²+2$\sqrt{2}$t-4=0.$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$．

解答 解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，展开可得：ρ²=4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ-sinθ），
可得直角坐标方程：x²+y²-4x+4y=0．
（2）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入上述方程可得：t²+2$\sqrt{2}$t-4=0．
t₁+t₂=-2$\sqrt{2}$，t₁t₂=-4，
则$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{8-4×（-4）}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为参数方程、参数方程化为普通方程及其应用、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．