【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,设
,
,若对任意
,
恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)分类讨论参数的范围,利用导数求函数单调性即可;
(2)利用导数证明函数与
在区间
的单调性,利用单调性化简题设条件,构造函数
,由函数单调性的定义判断函数
为减函数,得出
在
上恒成立,再次构造函数
,分类讨论参数利用导数
的范围,利用导数求函数
单调性,结合
在
上恒成立,求出
的范围.
(1),令
,
①当时,
,所以
在
上单调递增;
②当时,令
,
,所以
在
上单调递增,在
上单调递减;
③当时,令
,
,所以
在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)
因为,当
时,
,
在
单调递减;
,当
时,
,
在
单调递减.
因为对任意,
不妨设,则由两函数的单调性可得:
,
对任意
恒成立
令
则对任意
恒成立
即在
上单调递减
即在
上恒成立,令
当时,
在
恒成立
,G(x)在
上单调递减,
,满足题意;
当时,G(x)有两个极值点
且
,
∴在上,G(x)单调递增,即
对任意
上恒成立,不满足题意,舍去;
综上:当时,不等式
在
恒成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列 ,
为其前
项的和,满足
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前
项和为
,数列
的前
项和为
,求证:当
时
;
(3)(理)已知当,且
时有
,其中
,求满足
的所有
的值.
(4)(文)若函数的定义域为
,并且
,求证
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,直线
与椭圆
在第一象限内的交点是
,且
轴,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在斜率为的直线
与以线段
为直径的圆相交于
,
两点,与椭圆
相交于
,
两点,且
?若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知曲线,
,则下面结论正确的是( )
A.把上各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线
B.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线
C.把上各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线
D.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图:在四棱锥中,
平面
,底面
是正方形,
.
(1)求异面直线与
所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
(2)求点、
分别是棱
和
的中点,求证:
平面
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某种游戏中,黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→ ,黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→ ,它们都遵循如下规则:所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线(其中i是正整数).设黑“电子狗”爬完2015段、黄“电子狗”爬完2014段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、黄“电子狗”间的距离是 .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项,使其等于两相邻项的和,我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”. 已知数列1,2. 第一次“H扩展”后得到1,3,2;第二次“H扩展”后得到1,4,3,5,2; 那么第10次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为( )
A.88572B.88575C.29523D.29526
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