【题目】已知函数,若存在
,使得
,则实数
的值为______.
【答案】
【解析】
函数f(x)可以看作是动点M(x,ex)与动点N(-a,-)之间距离的平方,问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离,由y=ex得,y′=ex=
,曲线上点M(-1,
)到直线y=
x的距离最小,要使f(x0)≤
,则f(x0)=
,然后求解a即可.
函数f(x)=(x+a)2+(ex+)2,
函数f(x)可以看作是动点M(x,ex)与动点N(-a,-)之间距离的平方,
动点M在函数y=ex的图象上,N在直线y=x的图象上,
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离,
由y=ex得,y′=ex=,解得x=-1,
所以曲线上点M(-1,)到直线y=
x的距离最小,最小距离d=
,
则f(x)≥,
根据题意,要使f(x0)≤,则f(x0)=
,
此时N恰好为垂足,由KMN=-e,解得a= .
故答案为:.
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【题目】已知双曲线的焦点是椭圆
:
(
)的顶点,且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设动点,
在椭圆
上,且
,记直线
在
轴上的截距为
,求
的最大值.
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【题目】为更好地落实农民工工资保证金制度,南方某市劳动保障部门调查了年下半年该市
名农民工(其中技术工、非技术工各
名)的月工资,得到这
名农民工月工资的中位数为
百元(假设这
名农民工的月工资均在
(百元)内)且月工资收入在
(百元)内的人数为
,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:
(Ⅰ)求,
的值;
(Ⅱ)已知这名农民工中月工资高于平均数的技术工有
名,非技术工有
名,则能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?
参考公式及数据:,其中
.
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【题目】
在直角坐标系中,点P到两点
,
的距离之和等于4,设点P的轨迹为
,直线
与C交于A,B两点.
(Ⅰ)写出C的方程;
(Ⅱ)若,求k的值;
(Ⅲ)若点A在第一象限,证明:当k>0时,恒有||>|
|.
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【题目】1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想:对于每一个正整数,如果它是奇数,就把它乘以3再加1,如果它是偶数,就把它除以2,这样循环,最终结果都能得到1.如图是为了验证考拉兹猜想而设计的一个程序框图,则①处应填写的条件及输出的结果i分别为( )
A.a是偶数?;5B.a是偶数?;6
C.a是奇数?;5D.a是奇数?;6
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【题目】用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知圆
及点
,
.
(1)若直线平行于
,与圆
相交于
,
两点,
,求直线
的方程;
(2)在圆上是否存在点
,使得
?若存在,求点
的个数;若不存在,说明理由.
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