Question

【题目】已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，，，，恰为等比数列的前3项．

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前项和为；若对均满足，求整数的最大值；

（3）是否存在数列满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），（2），的最大整数是673．（3）存在，

【解析】

（1）由可得（），然后把这两个等式相减，化简得，公差为1，因为，，为等比数列，所以，化简计算得，，从而得到数列的通项公式，再计算出 ，，，从而可求出数列的通项公式；

（2）令，化简计算得，从而可得数列是递增的，所以只要的最小值大于即可，而的最小值为，所以可得答案；

（3）由题意可知，，

即，这个可看成一个数列的前项和，再写出其前（）项和，两式相减得，，利用同样的方法可得.

解：（1）由题，当时，，即

当时， ① ②

①-②得，整理得，又因为各项均为正数的数列．

故是从第二项的等差数列，公差为1．

又恰为等比数列的前3项，

故，解得．又，

故，因为也成立．

故是以为首项，1为公差的等差数列．故．

即2，4，8恰为等比数列的前3项，故是以为首项，公比为的等比数列，

故．综上，

（2）令，则

所以数列是递增的，

若对均满足，只要的最小值大于即可

因为的最小值为，

所以，所以的最大整数是673．

（3）由，得

，

③

④

③-④得， ⑤，

⑥

⑤-⑥得，，

所以存在这样的数列，