Question

已知函数f(x)=log

1

2

[x²-2（2a-1）x+8]（a∈R）
（1）若使函数f（x）在[a，+∞﹚上为减函数，求a的取值范围；
（2）当a=

3

4

时，求y=f（sin(2x-

π

3

)），x∈[

π

12

，

π

2

]的值域．
（3）若关于x的方程f（x）=-1+log

1

2

(x+3)在[1，3]上有且只有一解，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数f（x）在[a，+∞﹚上为减函数，建立不等式组，即可求a的取值范围；
（2）确定y=f（sin(2x-

π

3

)），结合三角函数、对数函数的性质，即可求函数的值域；
（3）原方可化为x²-2（2a-1）x+8=2x+6＞0，即4a=x+

2

x

，x∈[1，3]，根据在[1，3]上有且只有一解，即可得出结论．

解答：解：（1）∵函数f（x）在[a，+∞﹚上为减函数，
∴

2a-1≤a a2-2(2a-1)a+8＞0

∴-

4

3

＜a≤1；
（2）当a=

3

4

时，f(x)=log

1

2

(x2-x+8)
∴y=f（sin(2x-

π

3

)）=log

1

2

[sin(2x-

π

3

)-

1

2

]2+

31

4

，
∵x∈[

π

12

，

π

2

]，∴-

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，∴-

1

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1
∴函数的值域为[log

1

2

10，log

1

2

35

4

]；
（3）原方可化为x²-2（2a-1）x+8=2x+6＞0，
即4a=x+

2

x

，x∈[1，3]，由双勾图形可知：3＜4a≤

11

3

或4a=2

2

，
即

3

4

＜a≤

11

12

或a=

2

2

．

点评：本题考查函数的单调性，函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．