Question

16．若$（{x+y}）（{\frac{1}{x}+\frac{a}{y}}）≥16$对任意x，y∈R^*恒成立，则正实数a的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 9

Answer 1

分析 不等式（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）≥16对任意正实数x、y恒成立，可知：16≤[（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）]_min．令f（x）=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$），（a＞0）．利用基本不等式即可得出其最小值．

解答 解：∵不等式（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）≥16对任意正实数x、y恒成立，
∴16≤[（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）]_min．
令f（x）=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）（a＞0）．
则f（x）=a+1+$\frac{ax}{y}$+$\frac{y}{x}$≥a+1+2 $\sqrt{\frac{ax}{y}•\frac{y}{x}}$=a+1+2$\sqrt{a}$．当且仅当y=$\sqrt{a}$x取等号．
∴a+1+2$\sqrt{a}$≥16，解得a≥9．
因此正实数a的最小值为9．
故选：D．

点评 本题考查了恒成立问题的等价转化、基本不等式的应用，属于中档题．