Question

已知函数f（x）=

lnx，0＜x≤e 2-lnx，x＞e

，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c取值范围为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：画出函数的图象，判断a，b，c的范围，然后推出a+b+c的取值范围．

解答： 解：函数f（x）=

|lnx|，0＜x≤e 2-lnx，x＞e

，
若a，b，c互不相等，
且f（a）=f（b）=f（c），
如图，不妨设a＜b＜c，
由已知条件可知：
0＜a＜1＜b＜e＜c＜e²，
∵-lna=lnb，∴ab=1
∵lnb=2-1nc∴bc=e²，
∴a+b+c=b+

e2+1

b

，（1＜b＜e），
由（b+

e2+1

b

）′=1-

e2+1

b2

＜0，故（1，e）为减区间，
∴2e+

1

e

＜a+b+c＜e²+2，
∴a+b+c的取值范围是：（2e+

1

e

，e²+2）．
故答案为：（2e+

1

e

，e²+2）．

点评：本题考查分段函数的应用，函数的零点的判定，考查数形结合的思想方法的应用，属于中档题．