Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA₁⊥平面ABC，
D，E，I分别是CC₁，AB，AA₁的中点．
（1）求证：CE∥平面A₁BD
（2）若H为A₁B上的动点，CH与平面A₁AB所成的最大角的正切值为

15

2

，求侧棱AA₁的长．
（3）在（2）的条件下，求二面角I-BD-A的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明四边形GDCE是平行四边形，利用平行四边形的性质可以证明；
（2）先说明连接EH，则∠EHC为CH与平面AA₁B所成的角，再在△CEH中，利用正切函数，即可得到结论；
（3）利用面积比，即可求出二面角I-BD-A的余弦值．

解答： 解：（1）取BA₁的中点G，连接EG，DG，
∴GE平行且等于

1

2

AA₁，
∵D是CC₁中点，
∴CD平行且等于

1

2

AA₁，
∴GE平行且等于CD，
∴四边形GDCE是平行四边形，
∴CE∥GD，
∵CE?平面A₁BD，GD?平面A₁BD，
∴CE∥平面A₁BD，
（2）∵AA₁⊥面ABC，CE?面ABC，
∴AA₁⊥CE，
又△ABC等边三角形，E是中点，
∴CE⊥AB，CE=

3

2

AB=

3

，
所以CE⊥面AA₁B，
连接EH，则∠EHC为CH与平面AA₁B所成的角，
在Rt△CEH中，tan∠EHC=

CE

EH

=

3

EH

，
所以EH最短时∠EHC最大，
此时，EH⊥A₁B，∴tan∠EHC=

CE

EH

=

3

EH

=

15

2

，
∴EH=

2 5

5

由平几相似关系得AA₁=4；
（3）△IBD中，IB=DB=2

2

，ID=4，∴S_△IBD=

1

2

×2×2=2，
△ABD中，AB=4，DB=2

2

，AD=2

5

，∴cos∠ABD=

16+8-20

2×4×2 2

=

2

8

，
∴sin∠ABD=

62

8

，
∴S_△ABD=

1

2

×4×2

2

×

62

8

=

31

，
∴二面角I-BD-A的余弦值为

2

31

=

2 31

31

．

点评：本题考查线面垂直，线面平行，考查线面角，面面角，解题的关键是掌握面面平行的判定方法，正确作出线面角．