本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系,以及几何体的体积、几何概念等基础知识,考察空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考察函数与方程思想、形数结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分12分
解法一:
(I) 证明:在长方体ABCD-A
1B
1C
1D
1中,AD∥A
1 D
1 又∵EH∥A
1 D
1,∴AD∥EH.
∵AD¢平面EFGH
EH
平面EFGH
∴AD//平面EFGH.
(II) 设BC=b,则长方体ABCD-A
1B
1C
1D
1的体积V=AB·AD·AA
1 =2a
2b,
几何体EB
1F-HC
1G的体积V
1 =(1/2EB
1 ·B
1F)·B
1C
1 =b/2·EB
1 ·B
1 F
∵EB
12 + B
1 F
2=a
2∴EB
12 + B
1 F
2≤ (E
B
12 + B
1 F
2)/2 = a
2 / 2,当且仅当EB
1 =B
1 F=
a时等号成立
从而V
1 ≤ a
2b /4 .
故 p=1-V
1/V ≥
=
解法二:
(I) 同解法一
(II) 设BC=b,则长方体ABCD-A
1B
1C
1D
1的体积V=AB·AD·AA
1 =2a
2b ,
几何体EB
1F-HC
1G的体积
V
1=(1/2 EB
1 ·B
1 F)·B
1C
1 =b/2 EB
1 ·B
1 F
设∠B
1EF=θ(0°≤θ≤90°),则EB
1 =" a" cosθ,B
1 F ="a" sinθ
故EB
1 ·B
1 F = a
2 sinθcosθ=
,当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.
从而
∴p=1- V
1/V≥
=
,当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.
所以,p的最小值等于7/8