Question

已知数列{a_n}的首项a₁=a，a_n=

1

2

a_n-1（n∈N^*，n≥2），若b_n=a_n-2（n∈N^*）
（I）问数列{b_n}是否构成等比数列？并说明理由．
（II）若已知a₁=1，设数列{a_n•b_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（I）利用b_n=a_n-2代入a_n=

1

2

a_n-1，整理得bn=

1

2

bn-1，进而可知当a≠2时，数列b_n构成等比数列；当a=2时，数列b_n不构成等比数列．
（II）利用等比数列的通项公式求得b_n，进而根据b_n=a_n-2求得a_n，则数列{a_n•b_n}的通项公式可得，最后利用等比数列的求和公式求得答案．

解答：解：（I）b₁=a₁-2，a_n=b_n+2．
∴bn+2=

1

2

(bn-1+2)+1，bn=

1

2

bn-1
所以，当a≠2时，数列b_n构成等比数列；
当a=2时，数列b_n不构成等比数列．
（II）当a=1，得bn =-(

1

2

)n-1，an=2-(

1

2

)n-1，anbn=  (

1

4

)n-1-2(

1

2

)n-1，
所以sn=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

-2

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=

4

3

(1-

1

4n

 )-4-(1-

1

2n

)=-

8

3

-

4

3

•

1

4n

+

4

2n

点评：本题主要考查了等比数列的性质，等比数列的通项公式和求和公式的运用．考查了学生综合运用等比数列的基础知识的能力．