【题目】已知曲线的方程为.
(1)当时,试确定曲线的形状及其焦点坐标;
(2)若直线交曲线于点、,线段中点的横坐标为,试问此时曲线上是否存在不同的两点、关于直线对称?
(3)当为大于1的常数时,设是曲线上的一点,过点作一条斜率为的直线,又设为原点到直线的距离,分别为点与曲线两焦点的距离,求证是一个定值,并求出该定值.
【答案】(1) 曲线是焦点在轴上的椭圆,焦点坐标为; (2) 见解析;(3)见证明
【解析】
(1)将a代入,两边平方并化简,可得曲线C的方程及形状;
(2)将代入曲线,利用PQ中点的横坐标为,求出m,验证判别式是否成立,可得结论.
(3)将曲线C化简,得到焦点坐标,求得,再求得点到直线的距离,代入化简得到定值.
(1)当时,,两边平方并化简得,
∴曲线是焦点在轴上的椭圆,其长半轴长为1,短半轴长为,焦点坐标为;
(2)将代入,消去,
得,由题意,,
即,解得或(舍),此时,,,
设,,,
将代入,得,则,
的中点坐标为在对称轴上,∴,解得,
不满足,∴曲线上不存在不同的两点、关于直线对称;
(3),两焦点坐标为、,,
,即,
∴,
用替换中的,
可得,∴,
∴.
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【题目】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”,如.现从不超过的素数中,随机选取两个不同的数(两个数无序).(注:不超过的素数有,,,,,)
(1)列举出满足条件的所有基本事件;
(2)求“选取的两个数之和等于”事件发生的概率.
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【题目】如图,在正方体中,点是底面的中心,是线段的上一点。
(1)若为的中点,求直线与平面所成角的正弦值;
(2)能否存在点使得平面平面,若能,请指出点的位置关系,并加以证明;若不能,请说明理由。
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【题目】以下四个命题:
①“若,则”的逆否命题为真命题
②“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件
③若为假命题,则,均为假命题
④对于命题:,,则为:,
其中真命题的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如果数列对于任意,都有,其中为常数,则称数列是“间等差数列”,为“间公差”.若数列满足,,.
(1)求证:数列是“间等差数列”,并求间公差;
(2)设为数列的前n项和,若的最小值为-153,求实数的取值范围;
(3)类似地:非零数列对于任意,都有,其中为常数,则称数列是“间等比数列”,为“间公比”.已知数列中,满足,,,试问数列是否为“间等比数列”,若是,求最大的整数使得对于任意,都有;若不是,说明理由.
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