Question

【题目】如图，在多面体中，底面为矩形，侧面为梯形，，，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）判断线段上是否存在点，使得平面平面？并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见解析

【解析】

（I）由AD⊥DE，AD⊥CD可得AD⊥平面CDE，故而AD⊥CE；

（II）证明平面ABF∥平面CDE，故而BF∥平面CDE；

（III）取CE的中点P，BE的中点Q，证明CE⊥平面ADPQ即可得出平面ADQ⊥平面BCE．

（Ⅰ）由底面为矩形，知.

又因为，，

所以平面.

又因为平面，

所以.

（Ⅱ）由底面为矩形，知，

又因为平面，平面，

所以平面.

同理平面，

又因为，

所以平面平面.

又因为平面，

所以平面.

（Ⅲ）结论：线段上存在点（即的中点），使得平面平面.

证明如下：

取的中点，的中点，连接，则.

由，得.

所以四点共面.

由（Ⅰ），知平面，

所以，故.

在△中，由，可得.

又因为，

所以平面.

又因为平面

所以平面平面（即平面平面）.

即线段上存在点（即中点），使得平面平面