Question

【题目】几位大学生响应国家的创业号召，开发了三款软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这三款软件的激活码分别为下面数学问题的三个答案：已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，试根据下列条件求出三款软件的激活码

（1）A款应用软件的激活码是该数列中第四个三位数的项数的平方

（2）B款应用软件的激活码是该数列中第一个四位数及其前所有项的和

（3）C款应用软件的激活码是满足如下条件的最小整数：①；②该数列的前项和为2的整数幂

Answer 1

【答案】（1）2809；（2）4083；（3）1897

【解析】

（1）讲数列按照规律重新书写成行列形式，依次观察三位数出现的顺序；

（2）根据第一问重新书写的形式找到第一个四位数1024所在位置即可求和；

（3）先确定第1000项出现在哪一行，再计算前m行所有项之和，要变成2的整数幂形式需要再加多少，即可求解.

（1）由题可以将数列排成如下形式：

1，

1，2，

1，2，4，

1，2，4，8，

1，2，4，8，16，

1，2，4，8，16，32，

…

由2的整数幂可知：第一个三位数是，

下一行产生第二个和第三个三位数，依次是，

下一行产生第四个三位数，

观察数列规律：①每行的行数即该行的项数，②第行的最后一项，

第三个三位数出现在第9行最后一项，第四个三位数出现在第10行第8项，

其项数为，

所以A款应用软件的激活码是2809.

（2）由2的整数幂可知第一个四位数是，第11行第11项，根据规律：

设上面数列第行数列之和为，可得，

所以第一个四位数及其以前所有项之和为

（3）由题：前行一共项，

由条件①，设，可得，

满足条件的最小整数至少在第45行或大于第45行中的某个项数，

根据条件②：前行所有项之和

，

要满足这个数是2的整数幂，必须第行前项之和为，且

前项之和

即，，，即，

要使取值最小，只有当时满足题意，此时，

所以满足条件的最小整数.