Question

已知函数f(x)=

2x-1

2x+1

．
（1）判断f（x）的奇偶性并给出证明；
（2）若f（x）=2^x•k有两个不同的实数根，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）要判定函数的奇偶性，只有按照定义进行，即先求函数的定义域，再判定f（-x）与f（x）的关系．
（2）若方程有两个不等的实根，则说明等号左右的两个函数有两个不同的交点，可以转化为一元二次方程用△来处理．

解答：解：函数f(x)=

2x-1

2x+1

为R上的奇函数．
证明：由题得函数的定义域为R，关于原点对称．
又f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x 2x

2x+1 2x

=

1-2x

1+2x

=-f（x）
故函数f(x)=

2x-1

2x+1

在R上为奇函数．

（2）由f（x）=2^x•k 整理得：

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

=2^x•k
设2^x=t，则t＞0，上式可化为1-

2

t+1

= t•k，
化简得kt²+（k-1）t+1=0，由题可知该式有两个不等的实根．
所以，判别式△=（k-1）²-4k＞0
解得，k＞3+2

2

，或k＜3-2

2

．
故k的取值范围为 k＞3+2

2

，或k＜3-2

2

．

点评：1、定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件．
2、判定函数奇偶性常见步骤：
①判定其定义域是否关于原点对称，
②判定f（x）与f（-x）的关系．