Question

（2000•上海）在XOY平面上有一点列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…，对每个自然数n，点P，位于函数y=2000(

a

10

)n(0＜a＜10)的图象上，且点P_n，点（n，0）与点（n+1.0）构成一个以P_n为顶点的等腰三角形．
（Ⅰ）求点P_n的纵坐标b_n的表达式．
（Ⅱ）若对每个自然数n，以b_n，b_n+1，b_n+2为边长能构成一个三角形，求a取值范围．
（Ⅲ）设B_n=b₁b₂…b_n（n∈N）．，若a取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列{B_n}的最大项的项数．

Answer 1

分析：（I）利用点P_n，点（n，0）与点（n+1.0）构成一个以P_n为顶点的等腰三角形，可得点P_n（a_n，b_n）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，求出a_n，即可求点P_n的纵坐标b_n的表达式．
（Ⅱ）函数y=2000(

a

10

)n(0＜a＜10)递减，可得对每一个自然数n有b_n＞b_n+1＞b_n+2，进而由b_n，b_n+1，b_n+2为边长能构成一个三角形，可得b_n+2+b_n+1＞b_n，由此可求a的取值范围；
（III）确定数列{B_n}的最大项的项数n满足不等式b_n≥1且b_n+1＜1，即可确定结论．

解答：解：（I）由题意，∵点P_n，点（n，0）与点（n+1.0）构成一个以P_n为顶点的等腰三角形，
∴点P_n（a_n，b_n）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，
∴an=n+

1

2

，∴bn=2000(

a

10

)n+

1

2

，…（4分）
（II）∵函数y=2000(

a

10

)n(0＜a＜10)递减，
∴对每个自然数n，有b_n＞b_n+1＞b_n+2，则以b_n，b_n+1，b_n+2为边长能构成一个三角形的充要条件是b_n+2b_n+1b_n，
即(

a

10

)2+(

a

10

)-1＞0…（7分）
解得a＜-5(1+

5

)或a＞5(

5-1

)
∴5(

5

-1)＜a＜10，…（10分）
（III）∵5(

5

-1)＜a＜10，a取（2）中确定的范围内的最小整数，
∴a=7，
∴bn=2000(

7

10

)n+

1

2

…（12分）
∴数列{b_n}是一个递减的正数数列，对每个自然数n≥2，B_n=b_nB_n-1，
于是当b_n≥1时，B_n≥B_n-1，当b_n＜1时，B_n＜B_n-1，
因此，数列{B_n}的最大项的项数n满足不等式b_n≥1且b_n+1＜1．
由bn=2000(

7

10

)n+

1

2

≥1得n≤20.8，
∴n=20．…（16分）

点评：本题考查数列知识的综合运用，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键，属于中档题．