Question

（2000•上海）在xoy平面上有一点列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），P₃（a₃，b₃），…，P_n（a_n，b_n），…，对每个自然数n，点P_n位于函数y=2000(

a

10

)x，（0＜a＜10）的图象上，且点P_n、点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以P_n为顶点的等腰三角形．
（Ⅰ）求点P_n的纵坐标b_n的表达式；
（Ⅱ）若对每个自然数n，以b_n，b_n+1，b_n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；
（Ⅲ）设Cn=lg(bn)，n∈N*，若a取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，问数列{C_n}前多少项的和最大？试说明理由．（lg2=0.3010，lg7=0.8450）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于三角形为等腰三角形，所以点P_n（a_n，b_n）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，结合点P_n（a_n，b_n）在函数y=2000(

a

10

)x（0＜a＜10）的图象上，可得结论；
（Ⅱ）根据函数y=2000(

a

10

)x（0＜a＜10）是单调递减，可得对每一个自然数n有b_n＞b_n+1＞b_n+2，进而由b_n，b_n+1，b_n+2为边长能构成一个三角形，可得b_n+2+b_n+1＞b_n，由此可求a的取值范围；
（Ⅲ）先确定数列{C_n}是一个递减的等差数列，再根据当C_n≥0且C_n+1＜0时，数列{C_n}的前n项的和最大，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）由于三角形为等腰三角形，所以点P_n（a_n，b_n）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，
从而a_n=n+

1

2

，又因为点P_n（a_n，b_n）在函数y=2000(

a

10

)x（0＜a＜10）的图象上，所以b_n=2000（

a

10

）n+

1

2

；
（Ⅱ）∵函数y=2000(

a

10

)x（0＜a＜10）是单调递减，∴对每一个自然数n有b_n＞b_n+1＞b_n+2，
又因为以b_n，b_n+1，b_n+2为边长能构成一个三角形，所以b_n+2+b_n+1＞b_n，从而(

a

10

)2+(

a

10

-1)＞0
∵0＜a＜10，∴5（

5

-1）＜a＜10
（Ⅲ）∵5（

5

-1）＜a＜10，∴a=7，∴bn=2000(

7

10

)n+

1

2

，
于是Cn=lg[2000(

7

10

)n+

1

2

]=3+lg2+(n+

1

2

)lg0.7
∴数列{C_n}是一个递减的等差数列．
因此，当且仅当C_n≥0且C_n+1＜0时，数列{C_n}的前n项的和最大．
由Cn=3+lg2+(n+

1

2

)lg0.7≥0得n≤20.8，
∴n=20．

点评：本题考查数列知识的综合运用，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键，具有一定的难度