Question

已知a≤1，x≥1，求证：（x+1）ln（x+1）≥ax．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：构造函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，利用导数求其在[1，+∞）上的最小值，根据最小值大于0，即可证明不等式（x+1）ln（x+1）≥ax．

解答： 解：令f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
则f′（x）=ln（x+1）+1-a，
∵x≥1，a≤1
∴ln（x+1）≥ln2＞0，1-a≥0，
∴f′（x）=ln（x+1）+1-a＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴在[1，+∞）上f（x）≥f（1）=2ln2-a＞ln

4

e

＞0，
即（x+1）ln（x+1）-ax＞0
∴（x+1）ln（x+1）≥ax．

点评：本题考查利用导数求函数最值，以及最值与不等式成立的关系，属于中档题．