Question

函数f（x）=sinx．
（1）令f₁（x）=f′（x），f_n+1（x）=f_n′（x），（n∈N^*），求f₂₀₁₄（x）的解析式；
（2）若f（x）+1≥ax+cosx在[0，π]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）问中利用函数的周期性不难求出；（Ⅱ）问中先将不等式转化成函数利用导数，讨论a，进而求出a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得：f₁（x）=cosx，f₂（x）=-sinx，f₃（x）=-cosx，f₄（x）=sinx，…，周期为4，
∴f₂₀₁₄（x）=f_503×4+2（x）=f₂（x）=-sinx．
（Ⅱ）设g（x）=sinx+1-ax-cosx，g′（x）=cosx-a+sinx=

2

sin（x+

π

4

）-a．
∵x∈[0，π]，∴

2

sin（x+

π

4

）∈[-1，

2

]．
当a≤-1时，g′（x）≥0在[0，π]上恒成立，
∴g（x）≥g（x）_min=g（0）=0成立，
故a≤-1；
当a≥

2

时，g′（x）≤0在[0，π]上恒成立，g（x）=g（π）=2-πa≥0，得a≤

2

π

，无解．
当-1＜a＜

2

时，则存在x₀∈（0，π]使得x∈（0，x₀）时，g（x）是增函数，x∈（x₀，π]时，g（x）是减函数，
故g（x）_min=g（0），或g（x）_min=g（π），
∴

g(0)≥0 g(π)≥0

，解得：a≤

2

π

，
故-1＜a≤

2

π

．
综上所述：a≤

2

π

．

点评：本题是一道关于导数应用的综合型题目，不管问题怎么变化，关于导数最基本的知识点要牢牢掌握．