Question

自A（4，0）引圆x²+y²=4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,直线与圆

分析：先设出动点P的坐标（x，y），然后由圆的几何性质知OP⊥BC，再利用k_OP•k_AP=-1，求出P（x，y）满足的方程．也可由圆的几何性质直接得出动点P与定点M（2，0）的距离恒等于定长2，然后由圆的定义直接写出P点的轨迹方程．

解答： 解：方法一 （直接法）
设P（x，y），连接OP，则OP⊥BC，…（2分）
①当x≠0时，k_OP•k_AP=-1，即

y

x

•

y

x-4

=-1，即x²+y²-4x=0．（★）…（8分）
②当x=0时，P点坐标（0，0）是方程（★）的解，…（12分）
∴BC中点P的轨迹方程为x²+y²-4x=0（在已知圆内的部分）．…（14分）
方法二 （定义法）
由方法一知OP⊥AP，取OA中点M，则M（2，0），|PM|=

1

2

|OA|=2，
由圆的定义知，∴P的轨迹方程为x²+y²-4x=0（在已知圆内的部分）．

点评：针对这个类型的题目，常用的方法有：（1）待定系数法；（2）代入法；（3）直接法；（4）定义法．其中直接法是求曲线方程最重要的方法，它可分五个步骤：①建系，②找出动点M满足的条件，③用坐标表示此条件，④化简，⑤验证；定义法是指动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后据定义直接写出动点的轨迹方程；代入法，它用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可．