Question

设椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点A（-2，0），离心率e=

3

2

，过点G（1，0）的直线交椭圆Γ于B，C两点，直线AB，AC分别交直线x=3于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）以线段MN为直径的圆是否过定点，若是，求出所有定点的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点A（-2，0），离心率e=

3

2

，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线BC的方程为x=ty+1代入椭圆方程，求出M，N的坐标，求出以线段MN为直径的圆的方程，令y=0，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点A（-2，0），离心率e=

3

2

，
∴a=2，

c

a

=

3

2

，
∴c=

3

，
∴b=1，
∴椭圆Γ的标准方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）设直线BC的方程为x=ty+1，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
直线BC的方程代入代入椭圆可得（4+t²）y²+2ty-3=0．
∴y₁+y₂=

-2t

4+t2

，y₁y₂=

-3

4+t2

．
∴x₁x₂=（ty₁+1）（ty₂+1）=t²y₁y₂+t（y₁+y₂）+1=

4-4t2

4+t2

，
x₁x+₂=（ty₁+1）+（ty₂+1）=t（y₁+y₂）+2=

8

4+t2

，
∵直线AB的方程为y=

y1

x1+2

(x+2)，
∴M（3，

5y1

x1+2

），
同理N（3，

5y2

x2+2

），
∴以线段MN为直径的圆的方程为（x-3）（x-3）+（y-

5y1

x1+2

）（y-

5y2

x2+2

）=0，
∴（x-3）²+y²-（

5y1

x1+2

+

5y2

x2+2

）y+

5y1

x1+2

•

5y2

x2+2

=0，
∵

5y1

x1+2

+

5y2

x2+2

=-

5t

3

，

5y1

x1+2

•

5y2

x2+2

=-

25

12

，
∴以线段MN为直径的圆的方程为（x-3）²+y²+

5ty

3

-

25

12

=0，
令y=0，可得x=3±

5 3

6

，
∴以线段MN为直径的圆过定点（3±

5 3

6

，0）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查恒过定点问题，综合性强．