Question

已知椭圆C：的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F₁，F₂，若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由椭圆的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率，可得a，c的值，由此可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）将直线l：y=k（x-1）代入椭圆C的方程，消去y并整理一元二次方程，设直线AM的方程，求得与直线x=4的交点坐标P，同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标Q，证明P，Q两点重合，即证明P，Q两点的纵坐标相等．
解答：（Ⅰ）解：由题意，a=2，，∴c=1，∴b²=a²-c²=3
∴椭圆C的方程为：；
（Ⅱ）证明：将直线l：y=k（x-1）代入椭圆C的方程，消去y并整理得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．
设直线l与椭圆C交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=．
直线AM的方程为：y=），它与直线x=4的交点坐标为P（4，）
同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为Q（4，）．
下面证明P，Q两点重合，即证明P，Q两点的纵坐标相等．
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴-===0
∴P，Q两点的纵坐标相等．
综上可知，直线AM与直线BN的交点住直线x=5上．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法，考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．