Question

6．某工地决定建造一批房型为长方体、房高为2.5米的简易房，房的前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧墙用2.5米的高的复合钢板．两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米．用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格）．已知彩色钢板每米单价为450元．复合钢板每米单价为200元，房的地面不需另买材料，房顶用其它材料建造，每平方米材料费200元，每套房的材料费控制在32000元以内．
（1）设房前面墙的长为x（米），两侧墙的长为y（米），建造一套房所需材料费为P（元），试用x，y表示P；
（2）试求一套简易房面积S的最大值是多少？当S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？

Answer 1

分析 （1）根据题意可分别求得前面墙，两侧墙和房顶的费用，三者相加即可求得P．
（2）利用P的表达式和基本不等式求得关于$\sqrt{S}$的不等式关系，求得$\sqrt{S}$的范围，以及等号成立条件求得x的值．

解答 解：（1）依题得，p=2x×450+2y×200+xy×200=900x+400y+200xy
即p=900x+400y+200xy；
（2）∵S=xy，∴p=900x+400y+200xy≥$2\sqrt{900×400S}$+200S=200S+1200$\sqrt{S}$，
又因为p≤3200，所以200S+1200$\sqrt{S}$≤3200，
解得-16≤$\sqrt{S}$≤10，
∵S＞0，∴0＜S≤100，当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{900x=400y}\\{xy=100}\end{array}\right.$，即x=$\frac{20}{3}$时S取得最大值．
答：每套简易房面积S的最大值是100平方米，当S最大时前面墙的长度是$\frac{20}{3}$米．

点评 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．