Question

16．已知圆O为Rt△ABC的外接圆，AB=AC，BC=4，过圆心O的直线l交圆O于P，Q两点，则$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$的取值范围是（　　）

• A． [-8，-1]
• B． [-8，0]
• C． [-16，-1]
• D． [-16，0]

Answer 1

分析 以O为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，则△ABC外接圆的圆心是BC的中点，半径r=$\frac{1}{2}$BC，写出圆O的方程以及$\overrightarrow{BP}$、$\overrightarrow{CQ}$的坐标表示，求出$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$的取值范围即可．

解答 解：【解法一】以O为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴，
建立直角坐标系，如图所示；

在Rt△ABC中，AB=AC，BC=4，
所以△ABC的外接圆圆心是BC的中点，半径为r=$\frac{1}{2}$BC=2，
所以A（0，2），B（-2，0），C（2，0），
圆O的方程为：x²+y²=4；
当直线PQ的斜率不存在时，有P（0，2），Q（0，-2），
$\overrightarrow{BP}$=（2，2），$\overrightarrow{CQ}$=（-2，-2），则$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$=-4-4=-8；
当直线PQ的斜率存在时，设直线l为：y=kx，
代入圆的方程可得P（-$\frac{2}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，-$\frac{2k}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$），Q（$\frac{2}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，$\frac{2k}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$），
则$\overrightarrow{BP}$=（2-$\frac{2}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，-$\frac{2k}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$），$\overrightarrow{CQ}$=（$\frac{2}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$-2，$\frac{2k}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$），
所以$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$=（2-$\frac{2}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$）（$\frac{2}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$-2）+（-$\frac{2k}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$）$\frac{2k}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$
=-8+$\frac{8}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，
由1+k²≥1可得0＜$\frac{8}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$≤8，
所以-8＜-8+$\frac{8}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$≤0；
又题目中没有要求P、Q的具体位置，所以P、Q坐标互换时，
比如，当k=0时，若P（2，0），Q（-2，0），
则向量$\overrightarrow{BP}$=（4，0），向量$\overrightarrow{CQ}$=（-4，0），
所以$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$=-16．
故选：D．
【解法二】以O为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴，
建立直角坐标系，如图所示；

在Rt△ABC中，AB=AC，BC=4，
所以△ABC的外接圆圆心是BC的中点，半径为r=$\frac{1}{2}$BC=2，
所以A（0，2），B（-2，0），C（2，0），
圆O的方程为：x²+y²=4；
设P（2sinθ，2cosθ），Q（-2sinθ，-2cosθ），
把$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$转化为三角函数计算更简单．

点评 本题考查了平面向量的数量积与坐标运算问题，以及直线与圆的位置关系和不等式的性质问题，是综合题．