Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足a_n＞0，2S_n=a_n²+n（n∈N*）．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜测数列{a_n}的通项公式，并加以证明；
（3）求证：

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+

1

a 2 3

+…+

1

a 2 n

＜

7

4

．

Answer 1

分析：（1）分别令n=1，2，3，列出方程组，能够求出求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想：a_n=n，由2S_n=a_n²+n可知，当n≥2时，2S_n-1=a_n-1²+（n-1），所以a_n²=2a_n+a_n-1²-1再用数学归纳法进行证明；
（3）把数列{a_n}的通项公式代入

1

a 1 2

+

1

a 2 2

+

1

a 3 2

+…+

1

a n 2

中，利用放缩法即可证明结论．

解答：解：（1）分别令n=1，2，3，得

2a1= a 2 1 +1 2(a1+a2)= a 2 2 +2 2(a1+a2+a3)= a 2 3 +3

∵a_n＞0，∴a₁=1，a₂=2，a₃=3．
（2）由（1）的结论：猜想a_n=n
1）当n=1时，a₁=1成立；
2）假设当n=k时，a_k=k．
那么当n=k+1时，
∵2S_k+1=a_k+1²+k+1，∴2（a_k+1+S_k）=a_k+1²+k+1，
∴a_k+1²=2a_k+1+2S_k-（k+1）=2a_k+1+（k²+k）-（k+1）=2a_k+1+（k²-1）?[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k-1）]=0．
∵a_k+1+（k-1）＞0，∴a_k+1=k+1，这就是说，当n=k+1时也成立，
故对于n∈N*，均有a_n=n．
（3）当n=1，2时，显然成立．
当n≥3时，

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+

1

a 2 3

+…+

1

a 2 n

=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

4

+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)
=1+

1

4

+

1

2

-

1

n

=

7

4

-

1

n

＜

7

4

．

点评：本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要注意各种不同解法的应用，平时做题时多尝试一题多解能够有效地提高解题能力．属中档题．