Question

4．曲线$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）上的点到直线$\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=1+t\end{array}\right.$（t为参数）的距离的最大值为$\frac{2（\sqrt{5}+\sqrt{10}）}{5}$．

Answer 1

分析 由直线$\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=1+t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得：x-2y+2=0．任取曲线上的点P（2cosθ，sinθ）到直线的距离d=$\frac{|2cosθ-2sinθ+2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）-2|}{\sqrt{5}}$，利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：由直线$\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=1+t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得：x-2y+2=0．
∴曲线$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）上点P（2cosθ，sinθ）到直线的距离d=$\frac{|2cosθ-2sinθ+2|}{\sqrt{5}}$
=$\frac{|2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）-2|}{\sqrt{5}}$≤$\frac{2\sqrt{2}+2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2（\sqrt{5}+\sqrt{10}）}{5}$．当$sin（θ-\frac{π}{4}）$=-1时取等号．
故答案为：$\frac{{2（\sqrt{5}+\sqrt{10}）}}{5}$．

点评 本题考查了曲线的参数方程化为直角坐标方程、椭圆的参数方程的应用、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．