Question

16．已知圆O：x²+y²=4，直线l：y=kx-4．
（1）若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当∠AOB=$\frac{π}{2}$时，求k的值．
（2）若k=1，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，问：直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由．
（3）若EF、GH为圆O：x²+y²=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，$\sqrt{2}$），求四边形EGFH的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出点O到l的距离，然后求解k即可．
（2）设P（t，t-4）．其方程为：x（x-t）+y（y-t+4）=0，利用C、D在圆O：x²+y²=4上，求出CD方程，利用直线系求解即可．
（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d₁，d₂．通过${d_1}^2+{d_2}^2=|OM{|^2}=3$，求出面积表达式，然后求解最值．

解答 （本题满分16分）
解：（1）∵∠AOB=$\frac{π}{2}$，∴点O到l的距离$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}r$…2 分
∴$\frac{4}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$•2⇒$k=±\sqrt{7}$…4 分
（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，t-4）．
其方程为：x（x-t）+y（y-t+4）=0
即   x²-tx+y²-（t-4）y=0，…6 分
又C、D在圆O：x²+y²=4上，
∴l_CD：tx+（t-4）y-4=0即  （x+y）t-4y-4=0…8 分
由$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\-4y-4=0\end{array}\right.$得  $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}\right.$
∴直线CD过定点（1，-1）…10 分
（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d₁，d₂．
则${d_1}^2+{d_2}^2=|OM{|^2}=3$，…12 分
∴$|EF|=2\sqrt{{r^2}-d_1^2}=2\sqrt{4-d_1^2}$$|GH|=2\sqrt{{r^2}-d_2^2}=2\sqrt{4-d_2^2}$，
∴$S=\frac{1}{2}|EF||GH|=2\sqrt{（4-d_1^2）（4-d_2^2）}≤4-d_1^2+4-d_2^2=8-3=5$，
当且仅当$4-d_1^2=4-d_2^2$即${d_1}={d_2}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$时，取“=”，…14 分
∴四边形EGFH的面积的最大值为5．…16 分

点评 本题考查直线与圆的方程的综合应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．