Question

6．已知f′（x）是奇函数f（x）的导函数，f（-1）=0，当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（0，1）
• B． （-1，0）∪（1，+∞）
• C． （-1，0）∪（0，1）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 根据题意构造函数g（x）=xf（x），由求导公式和法则求出g′（x），结合条件判断出g′（x）的符号，即可得到函数g（x）的单调区间，根据f（x）奇函数判断出
g（x）是偶函数，由f（-1）=0求出g（-1）=0，结合函数g（x）的单调性、奇偶性画出函数的大致图象，再转化f（x）＞0，由图象求出不等式成立时x的取值范围．

解答 解：由题意设g（x）=xf（x），则g′（x）=xf′（x）+f（x），
∵当x＞0时，有xf′（x）+f（x）＞0，
∴则当x＞0时，g′（x）＞0，
∴函数g（x）=xf（x）在（0，+∞）上为增函数，
∵函数f（x）是奇函数，
∴g（-x）=（-x）f（-x）=（-x）[-f（x）]=xf（x）=g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
由f（-1）=0得，g（-1）=0，函数g（x）的图象大致如右图：
∵不等式f（x）＞0?$\frac{g（x）}{x}$＞0，∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{g（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{g（x）＜0}\end{array}\right.$，
由函数的图象得，-1＜x＜0或x＞1，
∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（-1，0）∪（1，+∞），
故选：B．

点评 本题考查利用导数判断函数的单调性，由函数的奇偶性、单调性解不等式，考查构造函数法，转化思想和数形结合思想，属于综合题．