Question

已知函数f（x）=x³-3x+1（x∈R）
（1）试利用单调性定义推导函数f（x）在给定区间[1，3]上的单调性；
（2）分析（1）的推导过程，说出函数f（x）的一个单调递增区间为

[1，+∞）

（不必证明）；
（3）分析（1）的推导过程，说出函数f（x）的一个单调递减区间为

（-∞，1]

（不必证明）．
（第（1）小题参考公式：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²））

Answer 1

分析：（1）在[1，3]上任取x1，x2 ，令x₁＜x₂，推导出f（x₁）-f（x₂）=（x13-3x1+1）-（x23-3x2+1）＜0，由此得到f（x）在给定区间[1，3]上单调递增．
（2）和（3）利用定义法判断函数的单调性直接填写．

解答：解：（1）在[1，3]上任取x1，x2 ，令x₁＜x₂．
f（x₁）-f（x₂）=（x13-3x1+1）-（x23-3x2+1）
=（x₁-x₂）（x12+x1x2+x22）+3（x₂-x₁）
=（x₁-x₂）（x12+x1x2+x22-3），
∵x₁，x₂∈[1，3]，x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x12+x1x2+x22-3＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在给定区间[1，3]上单调递增．
故答案为：（2）[1，+∞）；（3）（-∞，1]．

点评：本题考查函数的单调性的判断，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．