Question

【题目】已知椭圆的离心率为，直线与椭圆的两交点间距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，设是椭圆上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，求证：为定值.

（3）在（2）的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）为定值；（3）为定值，定值为25．

【解析】

（1）由椭圆的离心率公式求得，由椭圆过点，代入椭圆方程，即可求得和的值，求得椭圆方程；

（2）利用点到直线距离公式，同理求得：，则，是方程的两个不相等的实根，根据韦达定理即可求得为定值；

（3）将直线和的方程，代入椭圆方程，即可求得和点坐标，根据两点之间的距离公式，由，即可求得为定值．

解：（1）由椭圆的离心率，则，

由直线过点，代入，解得：，则，

椭圆的标准方程：；

（2）证明：由直线，直线，

由直线为圆的切线，

，，

同理可得：，

，是方程的两个不相等的实根，

由，△，则，

由，在椭圆上，即，

，

为定值；

（3）经判断为定值，

设，，，，

联立，解得，

，

同理，得，

由，

得，

，

，

，

为定值，定值为25．