Question

【题目】如图1所示，在直角梯形中，，，，，，点恰好在线段的垂直平分线上，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面底面，如图2所示，是线段的中点.

（1）证明：平面；

（2）若三棱锥的体积为1，求的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3.

【解析】

（1）由直角梯形中各线段关系，得到，结合平面底面，可得，结合，得到平面，从而有，通过三线合一得到，即可证明平面；

（2）利用（1）中结论及已知条件，证明平面，利用表示出三棱锥的体积，列方程解出的值即可.

（1）在直角梯形中，

点恰好在线段的垂直平分线上，.

即为线段的垂直平分线，即是线段的中点，

，

又，，，

四边形为矩形，

，平面底面，

平面底面，

底面，

又底面，

.

又，，平面，平面，

平面，

又平面，

，

是线段的中点，，

，

又，平面，平面，

平面.

（2）由（1）知，底面，

又底面

，

又，，平面，平面，

平面，

是线段的中点，

到平面的距离为，

由（1）及，得，

而，

解得.