[题目]已知椭圆:()的左.右焦点分别为.焦距为.过点作直线交椭圆于两点.的周长为.(1)求椭圆的方程,(2)若斜率为的直线与椭圆相交于两点.求定点与交点所构成的三角形面积的最大值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，焦距为，过点作直线交椭圆于两点，的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若斜率为的直线与椭圆相交于两点，求定点与交点所构成的三角形面积的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据题意可得，，再由，即可求解.

（2）设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立求得关于的方程，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式配方即可求解.

解（1）由题意的：，，∴，

∴

∴椭圆的方程为

(2)∵直线的斜率为，∴可设直线的方程为

与椭圆的方程联立可得：①

设两点的坐标为，由韦达定理得：

，

∴

点到直线的距离，

∴

由①知：，，

令，则，∴

令，则在上的最大值为

∴的最大值为

综上所述：三角形面积的最大值2.

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