Question

【题目】已知函数f（x）＝（x﹣1）ex+ax2（a∈R）．

（1）若a＝e，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

【答案】（1）3ex﹣y﹣2e＝0（2）①当a≥0时， y＝f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数；

②当时y＝f（x） 在 （﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上为增函数，在（ln（﹣2a），0）上为减函数；

③若时，y＝f（x）在上为单调递增的；

④若时，y＝f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣2a），+∞）上为增函数，在（0，ln（﹣2a）） 上为减函数．

【解析】

（1）由a＝e得f（x）＝（x﹣1）ex+ex2．再＝xex+2ex，分别求得，f（1），用点斜式写出切线方程.．

（2）根据＝x（ex+2a），分a≥0， ， ，四种情况分类讨论.

（1）∵a＝e，

∴f（x）＝（x﹣1）ex+ex2．

∴＝xex+2ex，

∴＝3e，f（1）＝e．

∴y﹣e＝3e（x﹣1），

所以切线方程是3ex﹣y﹣2e＝0；

（2）∵＝x（ex+2a）

①若a≥0时，ex+2a＞0．

当时，，

当时，

所以y＝f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数；

②若时，ln（﹣2a）＜0，

当x＜ln（﹣2a）或x＞0，＞0，

当ln（﹣2a）＜x＜0时，＜0，

∴y＝f（x） 在 （﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上为增函数，在（ln（﹣2a），0）上为减函数；

③若时，ln（﹣2a）=0，＞0成立，所以y＝f（x）在上为单调递增的；

④若时，ln（﹣2a）＞0，

当x＞ln（﹣2a）或x＜0时，＞0，

当0＜x＜ln（﹣2a）时，＜0，

∴y＝f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣2a），+∞）上为增函数，在（0，ln（﹣2a）） 上为减函数．

综上：①若a≥0时， y＝f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数；

②若时， y＝f（x） 在 （﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上为增函数，在（ln（﹣2a），0）上为减函数；

③若时， y＝f（x）在上为单调递增的；

④若时，y＝f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣2a），+∞）上为增函数，在（0，ln（﹣2a）） 上为减函数．