Question

【题目】已知函数f（x），g（x）1．

（1）若f（a）＝2，求实数a的值；

（2）判断f（x）的单调性，并证明；

（3）设函数h（x）＝g（x）（x＞0），若h（2t）+mh（t）+4＞0对任意的正实数t恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）a＝log23；（2）函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，证明见解析（3）[﹣3，+∞）．

【解析】

（1）根据f（a）＝2，代入解析式求解.

（2）函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，用单调性的定义证明.

（3）化简得到，将0对任意的正实数t恒成立，通过换元，μ∈（2，+∞），转化为μ2+mμ+2＞0对任意μ∈（2，+∞）恒成立，即对任意μ∈（2，+∞）恒成立，再求解最大值即可.

（1）∵，

∴2a＝3，

∴a＝log23；

（2）函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，

证明如下：

函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），

因为f（-x）

所以f（x）是奇函数

任取且

，

因为

所以

因为

所以

所以

所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，

又因为f（x）是奇函数

故函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减；

（3），，

∴0对任意的正实数t恒成立，

令，则μ∈（2，+∞），

∴μ2+mμ+2＞0对任意μ∈（2，+∞）恒成立，

即对任意μ∈（2，+∞）恒成立，

又在（2，+∞）上单调递减，故，

则m≥﹣3，即实数m的取值范围为[﹣3，+∞）．