Question

【题目】已知两定点，，点是平面内的动点，且，记的轨迹是.

（1）求曲线的方程；

（2）过点引直线交曲线于两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）设，根据向量的坐标运算并结合，代入化简即可求得的轨迹是.

（2）当斜率为0时，直线即为轴，此时定点一定在轴上.当斜率不为0时，设直线方程与，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出，进而表示出直线.令，化简即可求得为定值，即可得所过定点的坐标.

设，则，，，，

所以，即.

故点到，这两点的距离之和为4，

，

由椭圆定义得曲线为椭圆且，，

所以曲线.

（2）若直线斜率为0，则直线即为轴，此时定点一定在轴上.

若直线斜率不为0，则可设直线，设，

由得

所以

故直线为，

令，

可得

所以直线恒过.