【题目】知函数.
(1)当时,求
的单调区间;
(2)设函数,若
是
的唯一极值点,求
.
【答案】(1)在
上单调递增;在
上单调递减;(2)
【解析】
(1)当时,
,定义域为
,求导,解
,即可得出单调性.
(2)由题意可得:,求导得
,由于
是
的唯一极值点,则有以下两种情形:情形一:
对
恒成立.情形二:
对
恒成立.设
,对
分类讨论,利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.
解:(1)当时,
,定义域为
.
,
解,解得
.
∴函数在
上单调递增;在
上单调递减.
(2)由题意可得:,
.
,
.
由于是
的唯一极值点,则有以下两种情形:
情形一:对
恒成立.
情形二:对
恒成立.
设.
.
①当时,
.则
.
可得时,函数
取得极小值即最小值,∴
.满足题意.
②当时,
.在
单调递增.
又.∴存在
,使得
.
当时,
,
在
单调递增,∴
,这与题意不符.
③当时,设
.
,
令,解得
.
可得在
上单调递减;在
上单调递增.
i)当时,
,由
在
上单调递减,
可得,
在
上单调递减,
∴,这与题意矛盾,舍去.
ii)当时,
,由
的单调性及
,
可知:时,都有
.
又在
上单调递增,
,
则存在,使得
.
∴时,
,此时
单调递减,
∴,这与题意矛盾,舍去.
综上可得:.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对于由有限个自然数组成的集合A,定义集合S(A)={a+b|a∈A,b∈A},记集合S(A)的元素个数为d(S(A)).定义变换T,变换T将集合A变换为集合T(A)=A∪S(A).
(1)若A={0,1,2},求S(A),T(A);
(2)若集合A有n个元素,证明:“d(S(A))=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”;
(3)若A{1,2,3,4,5,6,7,8}且{1,2,3,…,25,26}T(T(A)),求元素个数最少的集合A.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左、右焦点为
的坐标满足圆
方程
,且圆心
满足
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线
交椭圆
于
、
两点,过
与
垂直的直线
交圆
于
、
两点,
为线段
中点,若
的面积
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了了解校园噪音情况,学校环保协会对校园噪音值(单位:分贝)进行了天的监测,得到如下统计表:
噪音值(单位:分贝) | ||||||
频数 |
(1)根据该统计表,求这天校园噪音值的样本平均数(同一组的数据用该组组间的中点值作代表).
(2)根据国家声环境质量标准:“环境噪音值超过分贝,视为重度噪音污染;环境噪音值不超过
分贝,视为度噪音污染.”如果把由上述统计表算得的频率视作概率,回答下列问题:
(i)求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率.
(ii)学校要举行为期天的“汉字听写大赛”校园选拔赛,把这
天校园出现的重度噪音污染天数记为
,求
的分布列和方差
.
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【题目】某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表,经过进一步统计分析,发现y与x具有线性相关关系.
价格x(元/kg) | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
日需求量y(kg) | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
(1)根据上表给出的数据,求出y与x的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,当价格元/kg时,日需求量y的预测值为多少?
(参考公式:线性回归方程,其中
,
.)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】经过坐标原点的两条直线与椭圆
:
分别相交于点
、
和点
、
,其中直线
经过
的左焦点
,直线
经过
的右焦点
.当直线
不垂直于坐标轴时,
与
的斜率乘积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求四边形面积的最大值.
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