Question

【题目】经过坐标原点的两条直线与椭圆：分别相交于点、和点、，其中直线经过的左焦点，直线经过的右焦点.当直线不垂直于坐标轴时，与的斜率乘积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）最大值6.

【解析】

（1）设，，由对称性可知，由，，相减得，而直线与直线的斜率乘积为，所以，由题意可知，利用，这样可求出的值，进而求出椭圆的标准方程；

（2）由题设不平行于轴，设：，与联立得，由对称性四边形是平行四边形，其面积的等于面积的4倍，于是，利用根与系数的关系，和换元法以及求导法，可以求出四边形面积的最大值.

解：（1）设，，由对称性，直线与直线的斜率乘积为.

由，，相减得.

所以，因为，所以，，的方程为.

（2）由题设不平行于轴，设：，与联立得.，.

由对称性四边形是平行四边形，其面积的等于面积的4倍，于是 .

设，当时，，函数单调递增，

所以当，即时，取最大值6.