Question

【题目】如图所示的五面体中，平面平面, ,,∥，,，．

（Ⅰ）求四棱锥的体积；

（Ⅱ）求证：∥平面；

（Ⅲ）设点为线段上的动点，求证：与不垂直．

Answer 1

【答案】（I）（II）见解析（III）见解析

【解析】

（Ⅰ）取AD中点N，连接EN．可得EN⊥AD．由平面ADE⊥平面ABCD，利用面面垂直的性质可得EN⊥平面ABCD．再由已知求得梯形ABCD得面积，代入棱锥体积公式求解；（Ⅱ）由AB∥CD，得CD∥平面ABFE．进一步得到CD∥EF．再由线面平行的判定可得EF∥平面ABCD；（Ⅲ）连接MN，假设EM⊥AM．结合（Ⅰ）利用反证法证明EM与AM不垂直．

（Ⅰ）取AD中点，连接．

在中，，

所以.

因为平面平面，

平面平面，

平面ADE,

所以平面．

又因为，，所以.

因为∥，，，

所以.

所以.

（Ⅱ）因为∥，平面，平面，

所以∥平面．

又因为平面，平面平面，

所以∥．

因为平面，平面，

所以∥平面．

（Ⅲ）连接，假设.

由（Ⅰ）知平面，

因为平面,所以．

因为, 且，

所以平面．

因为平面，

所以．

在△中，，

所以.

所以．

这与矛盾．

所以假设不成立，即与不垂直．