Question

【题目】已知函数，，且与的图象有一个斜率为1的公切线（为自然对数的底数）.

（1）求；

（2）设函数，讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）由与的图象有一个斜率为1的公切线，分别对与求导并求出切线方程，列出等量关系可得；

（2）利用换元将转化为二次函数，分类讨论对其单调性，对图像特点进行分析，分情况讨论出函数的零点个数.

（1）可得.

在处的切线方程为，

即.

.

在处的切线方程为，

故

可得.

（2）由（1）可得，

，

令，则，

，

时，有两根，

且，

，

得：，

在上，，

在上，，

此时，.

又时，时，.

故在和上，

各有1个零点.

时，

最小值为，故仅有1个零点.

时，.

其中，同，

在与上，

各有1个零点，

时，，仅在有1个零点，

时，对方程.

方程有两个正根，.

在上，，在上，，在，.

由，可得，

故.

，

故.

故在上，，

在上，，

在上，有1个零点：.

时，恒成立，

为增函数，仅有1个零点：.

综上，或时，有1个零点，

或时，有2个零点.