Question

【题目】设椭圆的离心率为，且经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆交两点，是坐标原点，分别过点作，的平行线，两平行线的交点刚好在椭圆上，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，6.

【解析】

（1）设椭圆的半焦距为，运用椭圆的离心率公式，结合点在椭圆上，以及，求出，，，写出椭圆方程即可；

（2）通过化简得，将问题转化为求证是定值，然后分直线的斜率不存在与不存在两种情况进行讨论：①斜率不存在时，利用椭圆的对称性求出，坐标，计算；②斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆方程消去，利用韦达定理表示出与，求出点坐标，代入椭圆方程化简得，计算与点到直线的距离，即可得到，综合两种情况即可得到结论.

（1）设椭圆的半焦距为，

椭圆的离心率为，

.①

又椭圆经过点，

.②

结合，③

由①②③，解得.

故椭圆的标准方程是.

（2）

.

①当直线的斜率不存在时，不妨设，，

根据对称性知两平行线的交点在轴上，

又交点刚好在椭圆上，

交点为长轴端点，则满足条件的直线的方程是.

此时点，或，，

，

故；

②当直线的斜率存在时，

设直线的方程为，，.

联立方程，

消去得，

则，，，

，

不妨设两平行线的交点为点，则，

故点的坐标为，

点刚好在椭圆上，

，

即

此时，

则

，

设点到直线的距离为，则.

.

故.

综上，为定值6.