Question

【题目】已知五边形由直角梯形与直角△构成，如图1所示，，，，且，将梯形沿着折起，形成如图2所示的几何体，且使平面平面．

（1）在线段上存在点，且，证明：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据可证明，进而得四边形为平行四边形，于是，再根据直线和平面平行的判定定理可证得结论；（2）以为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.求出平面的一个法向量，又知平面的一个法向量为，根据空间向量夹角余弦公式可求得面角的平面角的余弦值.

试题解析：（1）过点作平行交于点，

∵，∴，

由题意知，，

∴，∴四边形为平行四边形，

∴，又平面，平面，

∴平面．

（2）∵，∴以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，由，，可知，

∴，

∴，．

设是平面的一个法向量，

则

令，得．

易证平面，知平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，则．

易判断二面角为钝二面角，

∴二面角的平面角的余弦值为．