Question

5．三棱锥P-ABC内接于球O，PA=PB=PC=3，当三棱锥P-ABC的三个侧面积和最大时，球O的体积为$\frac{{27\sqrt{3}π}}{2}$．

Answer 1

分析 三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积．

解答 解：由题意三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，
三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大，
三棱锥P-ABC的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的对角线的长：3$\sqrt{3}$
所以球的直径是3$\sqrt{3}$，半径为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
球的体积为$\frac{{27\sqrt{3}π}}{2}$．
故答案为$\frac{{27\sqrt{3}π}}{2}$．

点评 本题考查球的体积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．