Question

14．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$两渐近线的夹角θ满足$sinθ=\frac{4}{5}$，焦点到渐近线的距离d=1，则该双曲线的焦距为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$或$\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{5}$或$2\sqrt{5}$
• D． 以上都不是

Answer 1

分析 运用双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$两渐近线的夹角θ满足$sinθ=\frac{4}{5}$，得到$\frac{b}{a}$=2或$\frac{1}{2}$，结合点到直线的距离公式可得b，再由a，b，c的关系即可得到c，进而得到焦距．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$两渐近线的夹角θ满足$sinθ=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{b}{a}$=2或$\frac{1}{2}$，
设焦点为（c，0），渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
则d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b=1，
又b²=c²-a²=1，
解得c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$或$\sqrt{5}$．
则有焦距为$\sqrt{5}$或2$\sqrt{5}$．
故选C．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查焦距和渐近线方程的运用，属于中档题．