Question

4．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{4}$-$\sqrt{3}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴方程；
（2）若△ABC中，内角A满足f（A）=$\frac{3}{2}$，且边BC长为3，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式对已知函数解析式进行变换得到f（x）=$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$，所以根据余弦函数图象的性质来求函数f（x）的最小正周期和对称轴方程；
（2）将f（A）=$\frac{3}{2}$代入（1）中的函数解析式求得A的值；然后由正弦定理、余弦定理得到三角形的面积，结合不等式的性质求最值．

解答 解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{4}$-$\sqrt{3}$
=2$\sqrt{3}$×$\frac{1+cos\frac{x}{2}}{2}$-$\sqrt{3}$
=$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$，
∴T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π．
对称轴方程：$\frac{x}{2}$=kπ（k∈Z），则x=2kπ（k∈Z）；
（2）由f（A）=$\frac{3}{2}$，得
f（A）=$\sqrt{3}$cos$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$⇒A=60°．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•ACsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB•AC．
∵由余弦定理得到：3²=AB²+AC²-2AB•ACcos60°，即9=AB²+AC²-AB•AC≥2AB•AC-AB•AC=AB•AC（当且仅当AB=AC时取“=”），
∴AB•AC≤9，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB•AC≤$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，则△ABC面积的最大值是$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．