Question

12．已知x，y∈（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），且xy=1，那么$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{y}^{2}}$的最小值是$\frac{16+4\sqrt{2}}{7}$．

Answer 1

分析 x、y∈（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）且xy=1，可得y=$\frac{1}{x}$（x≠0）．化简变形$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{y}^{2}}$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵x、y∈（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）且xy=1，∴y=$\frac{1}{x}$（x≠0）．
则$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{y}^{2}}$=$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-\frac{1}{{x}^{2}}}$
=$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{1}{{4x}^{2}-1}$+1
=1+$\frac{{7x}^{2}}{{9x}^{2}-{4x}^{4}-2}$
=1+$\frac{7}{9-（{4x}^{2}+\frac{2}{{x}^{2}}）}$≥1+$\frac{7}{9-2•2\sqrt{{2x}^{2}•\frac{1}{{x}^{2}}}}$
=$\frac{16+4\sqrt{2}}{7}$，当且仅当x²=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y²=$\sqrt{2}$时取等号．
∴$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{y}^{2}}$的最小值为$\frac{16+4\sqrt{2}}{7}$，
故答案为：$\frac{16+4\sqrt{2}}{7}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．