Question

17．（1）已知角α终边上一点P（m，5）（m≠0），且 $cosα=\frac{m}{13}$．求sinα+cosα+tanα的值；
（2）已知β∈（0，$\frac{π}{4}$）且$sinβcosβ=\frac{3}{10}$，求（ I）tanβ的值；
（II）sin²α+2cos²α+4sinαcosαsin²β+2cos²β+4sinβcosβ．

Answer 1

分析 （1）利用任意角的三角函数的定义可求m的值，进而得解sinα+cosα+tanα的值；
（2）（ I）由已知利用同角三角函数基本关系式，结合范围β∈（0，$\frac{π}{4}$），即可得解．（ II）利用同角三角函数基本关系式化简所求，即可计算得解．

解答 解：（1）当m＞0时，$cosα=\frac{m}{{\sqrt{{m^2}+{5^2}}}}=\frac{m}{13}，所以，m=13------（1分）$
$sinα+cosα+tanα=\frac{269}{156}-----（3分）$
当m＜0时，$cosα=\frac{m}{{\sqrt{{m^2}+{5^2}}}}=\frac{m}{13}，所以，m=-13------（4分）$
$sinα+cosα+tanα=\frac{-149}{156}-----（6分）$
（2）（ I）$sinβcosβ=\frac{3}{10}$=$\frac{sinβcosβ}{si{n}^{2}β+co{s}^{2}β}$=$\frac{tanβ}{ta{n}^{2}β}$+1，------（8分）
解得：tanβ=3或$\frac{1}{3}$，…（9分）
因为β∈（0，$\frac{π}{4}$），由三角函数线可知，tanβ=$\frac{1}{3}$，…（11分）
（ II）原式=$\begin{array}{l}\frac{{{{sin}^2}β+2{{cos}^2}β+4sinβcosβ}}{{{{sin}^2}β+{{cos}^2}β}}=\frac{{{{tan}^2}β+2+4tanβ}}{{{{tan}^2}β+1}}------（13分）\\=\frac{31}{10}-------（14分）\end{array}$

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．