Question

2．已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{m（x+n）}{x+1}$（m＞0）．
（Ⅰ）若函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处有相同的切线，求m的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-g（x）在定义域内不单调，求m-n的取值范围；
（Ⅲ）若?x＞0，恒有|f（x）|≥|g（x）|成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （I）直接利用导数的几何意义即可求出m值；
（II）首先对y求导y'=f'（x）-g'（x）=$\frac{{x}^{2}+[2-m（1-n）]x+1}{x（x+1）^{2}}$，因为y=f（x）-g（x）在定义域内不单调，所以h（x）=x²+[2-m（1-n）]x+1 在（0，+∞）内有至少一个实根且曲线与x不相切．
（III）当x=1时，由|f（1）|≥|g（1）|得n=1，当x＞1时，f（x）＞0，g（x）＞0；当0＜x＜1时，f（x）＜0，g（x）＜0；
令k（x）=f（x）-g（x），则问题转化为：当x＞1时，k（x）≥0恒成立，当0＜x＜1时，k（x）≤0恒成立；

解答 解：（I）函数y=f（x）在x=1处的切线方程为y=x-1，
由g（1）=0得n=-1，由g'（1）=1得m=2；
（II）y'=f'（x）-g'（x）=$\frac{{x}^{2}+[2-m（1-n）]x+1}{x（x+1）^{2}}$，
因为y=f（x）-g（x）在定义域内不单调，所以
h（x）=x²+[2-m（1-n）]x+1 在（0，+∞）内有至少一个实根且曲线与x不相切．
因为h（0）=1＞0，于是[2-m（1-n）]²-4＞0；
∴m（1-n）＞4或m（1-n）＜0；
由m（1-n）＞4知m+（1-n）≥2$\sqrt{m（1-n）}$＞$2\sqrt{4}$，所以m-n＞3；
（III）当x=1时，由|f（1）|≥|g（1）|得n=1，当x＞1时，f（x）＞0，g（x）＞0；
当0＜x＜1时，f（x）＜0，g（x）＜0；
令k（x）=f（x）-g（x），则问题转化为：
当x＞1时，k（x）≥0恒成立，当0＜x＜1时，k（x）≤0恒成立；
而k（x）=$\frac{x+2-2m+\frac{1}{x}}{（x+1）^{2}}$，当x≥1时，函数y=x+2-2m+$\frac{1}{x}$是单调函数，最小值为4-2m，
为使k（x）≥0恒成立，注意到k（1）=0，所以4-2m≥0，即m≤2；
同理，当0＜x＜1时，m≤2；
综上：m≤2．

点评 本题主要考查了导数几何意义，利用导数判断函数单调性以及转化思想应用，属中等题．